DESIGUALDADES
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la
que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
|
<
|
menor que
|
2x − 1 < 7
|
|
≤
|
menor o igual que
|
2x − 1 ≤ 7
|
|
>
|
mayor que
|
2x − 1 > 7
|
|
≥
|
mayor o igual que
|
2x − 1 ≥ 7
|
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se
les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la
dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica
o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica
o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de
sentido y es equivalente a la dada.
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y
los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones
5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos
por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el
conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de
ambas inecuaciones.
Inecuaciones de segundo grado
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y
obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
Si el discriminante es igual a cero:
|
|
|
Solución
|
|
x2 + 2x +1 ≥ 0
|
(x + 1)2 ≥ 0
|
|
|
x2 + 2x +1 > 0
|
(x + 1)2 > 0
|
|
|
x2 + 2x +1 ≤ 0
|
(x + 1)2 ≤ 0
|
x = − 1
|
|
x2 + 2x +1 < 0
|
(x + 1)2 < 0
|
|
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la
solución es 
.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no
tiene solución.
|
|
Solución
|
|
x2 + x +1 ≥ 0
|
|
|
x2 + x +1 > 0
|
|
|
x2 + x +1 ≤ 0
|
|
|
x2 + x +1 < 0
|
|
Inecuaciones racionales
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero
hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo
en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la
desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo
en cada intervalo:
4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
Sistemas de inecuaciones
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la
desigualdad en una igualdad.
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos
dos puntos.
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos
en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se
encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
La solución a este sistema es la intersección de las
regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.
1º Representamos la región solución de la primera
inecuación.
2º Representamos la región solución de la segunda
inecuación.
3º La solución es la intersección de las regiones
soluciones.
/ a < x < b} 
(unión)
entre ellos. 
